강의자와 학습자가 함께 토의하며 수업을 진행하는 구성주의적 대수학 교재
본 교재는 대수학을 처음 배우는 수학 및 수학교육과 학생들을 위해 쓴 두 권의 시리즈물 중 두 번째 편이다. 첫 번째 권은 군론에 대한 논의로 작은 위수의 군을 모두 분류하는 것을 목적으로 하였다. 이번 권은 대부분의 학부 대수학 교육과정에서 다루는 다항식의 비가해성(갈루아 이론)에 대한 논의를 목표점으로 설정하였다. 이러한 목표에 도달하는 데 사전식 나열로 출발하는 기존의 교재 구성 방식을 지양하고 필요가 정의를 만들고 성질을 유도해가는 구성주의적 접근법으로 내용을 채우려고 노력하였다. 되도록 새로운 용어나 정의의 도입은 최소화했다.
저자들은 학습자들이 배웠던 것들을 살피어 시발점으로 삼고자 하였다. 이러한 생각에 기초하여 본 교재는 학습자들이 이미 알고 있는 다항식(정수)의 나눗셈 개념을 부정하고 새로운 이론을 건설하려 하지 않는다. 순서가 자연스럽지 않을지라도 독자들이 가지고 있는 배경 지식을 존중하고 논의를 진행한다. 한편 독자들은 이미 중고교 과정에서 근과 계수의 관계라는 이름으로 수없이 많은 기계적 계산을 해본 바 있다. 교재의 내용들은 이러한 배경지식이 있다고 가정하고 구성되어 있다. 다만 셈의 노고를 덜기 위해 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system) 중 하나인 Macaulay2([9])를 부분적으로 활용한다. 결국 이것은 갈루아 이론에 대해 명확하고 직관적으로 이해하기 위한 준비과정으로 파악해도 좋다.
교재의 이름에 드러나 있듯이 이 교재는 강의자와 학습자 사이에 토론할 기회를 줄 수 있도록 다양한 형태로 내용을 구성하였다. 연습 문제, 탐구 문제, 도전 문제를 통해 강의식으로 제시하기보다는 학습자 스스로 탐구할 수 있도록 유도하였다. 특히 증명을 이해하는 것만으로 토론이 되도록 독립적 증명법으로 채우기도 했다. 그리고 학습자 스스로 일반적인 상황을 유추할 수 있도록 하기 위해 증명은 특정 상황에 한정하여 쓰기도 했다.
본 교재는 갈루아 대응 정리 내용을 조금 더 세밀화해 제시하고 있다. 포함관계와 정규성에 대한 논의를 세밀화해 각 범주에서의 확장과 축소에 관한 것도 탐구하였다. 이러한 일반적인 논의가 현대 수학의 범주론(category theory)에 대한 맛보기가 되길 기대한다.