도서의 특징

 이 책은 자연계열과 공학계열의 대학생들이 전공과목을 배우는 데 기초가 되는 미적분학을 체계적으로 다루고 있다. 미적분학을 다룬 책은 이미 많은 종류가 출간되어 있지만, 번역서는 국내 중등교육의 내용과 연속되지 않은 경우가 많고 국내 교재는 미적분의 개념과 예제에서 기하학적인 이미지의 사용이 부족한 경우가 많다. 그래서 나는 오랜 기간 대학에서 미적분학을 가르치면서 다양한 수준의 교재가 필요하다는 것을 절실히 느꼈고 그간의 강의자료를 정리하여 이 책을 쓰게 되었다.

다음은 이 책의 내용에 대한 간단한 설명이다.

1. [0장. 미적분학의 기본 개념]은 일반 미적분학에 관해 공부를 시작하기 전 미리 알아두어야 하는 내용으로, 고등학교 수학 내용의 복습에 해당한다.
2. 1장부터 6장까지는 실함수의 극한, 연속, 미분과 적분을 다루었다. 실함수의 그래프를 그리고 평면도형의 넓이를 구하는 방식을 설명하였다.
3. [7장. 수열과 급수]는 함수의 급수 표현에 관한 내용인데, 특히 공학 분야에서 응용을 위해 중요하게 다뤄야 할 부분이다.
4. [8장. 극좌표와 극방정식, 원뿔곡선]에서는 평면도형의 표현방식을 다양하게 다루었다. 평면의 극좌표계는 평면곡선을 다양하게 표현해주는 중요한 도구이다. 그리고 원뿔곡선은 평면 이차방정식으로 표현되는 대표적인 평면곡선이다.
5. [9장. 벡터 그리고 공간 위의 직선, 평면, 이차곡면]에서는 벡터의 물리적 정의와 수학적 정의를 다루었다. 그리고 벡터함수를 사용하여 평면곡선과 공간곡선에 대해 수학적인 정의를 내리고 곡선의 성질을 다루었다.
6. 10장부터 12장까지는 이변수함수와 삼변수함수의 극한, 연속, 미분 그리고 적분을 다루었다.

목차

 

  • 머리말 iii
    차례 vii

    Chapter 0 미적분학을 위한 기본 개념
    0.1 실수 2
    0.2 지수와 근호 7
    0.3 대수식: 전개와 인수분해 12
    0.4 등식: 항등식과 방정식 22
    0.5 부등식 30
    0.6 좌표평면 35
    0.7 평면에서의 직선 41

    Chapter 1 실함수
    1.1 실함수 48
    1.1.1 실함수란 무엇인가? 48
    1.1.2 함수의 정의역 50
    1.1.3 실함수의 그래프 51
    1.2 실함수의 연산과 합성 57
    1.2.1 실함수의 연산 57
    1.2.2 다항함수와 그래프 58
    1.2.3 멱함수 𝑓(χ)＝χ ͫ ̷ ⁿ과 그래프(m과 n이 서로소인 자연수) 62
    1.2.4 유리함수 𝑓(χ)＝1/χⁿ(n은 자연수)과 그래프 63
    1.2.5 합성함수 64
    1.3 역함수 67
    1.3.1 일대일함수 67
    1.3.2 역함수 69
    1.3.3 역함수 구하는 법 72
    1.4 지수함수와 로그함수 76
    1.4.1 지수와 지수함수 76
    1.4.2 로그와 로그함수 79
    1.5 삼각함수 84
    1.5.1 각도의 정의 84
    1.5.2 삼각함수의 정의 86
    1.5.3 역삼각함수 93

    Chapter 2 극한과 연속
    2.1 함수의 극한 102
    2.1.1 함수의 극한 102
    2.1.2 한쪽 극한 107
    2.2 극한의 성질과 극한 구하기 112
    2.2.1 극한의 성질 112
    2.2.2 극한 구하기 1: 다항함수, 무리함수 113
    2.2.3 극한 구하기 2: 분수 형태의 함수 115
    2.2.4 극한 구하기 3: 정의역이 나뉘어서 함수가 정의된 경우 119
    2.3 함수의 연속 122
    2.3.1 함수의 연속의 정의 122
    2.3.2 연속함수의 성질과 연속함수들 129
    2.3.3 연속함수의 주요 정리 133
    2.4 삼각함수, 지수함수 그리고 로그함수의 연속 138
    2.4.1 조임정리 138
    2.4.2 삼각함수와 역삼각함수의 연속 139
    2.4.3 지수함수와 로그함수의 연속 144
    2.5 무한극한과 무한에서의 극한 148
    2.5.1 무한극한의 정의 148
    2.5.2 무한극한을 구하는 방법 152
    2.5.3 무한에서의 극한 156
    2.5.4 무한에서의 극한 구하는 방법 158

    Chapter 3 미분
    3.1 미분과 도함수 172
    3.1.1 접선과 순간속도 172
    3.1.2 미분가능과 도함수 179
    3.2 미분의 성질과 도함수를 구하는 법 187
    3.2.1 기본함수의 도함수: 상수함수와 항등함수, 멱함수 187
    3.2.2 도함수의 성질과 도함수: 다항함수와 유리함수 188
    3.2.3 고계 도함수 193
    3.3 삼각함수의 미분 196
    3.4 연쇄법칙 201
    3.5 음함수의 미분과 역함수의 미분 205
    3.5.1 음함수의 미분 205
    3.5.2 역함수의 미분 212
    3.5.3 역삼각함수의 도함수 215
    3.6 로그함수와 지수함수의 도함수 221
    3.6.1 로그함수의 도함수 221
    3.6.2 지수함수의 도함수 225
    3.6.3 쌍곡함수의 도함수 228

    Chapter 4 미분의 활용
    4.1 평균값 정리 234
    4.1.1 롤(Rolle)의 정리 234
    4.1.2 평균값 정리 235
    4.1.3 평균값 정리의 응용 236
    4.2 로피탈의 정리 239
    4.2.1 로피탈(L’Hospital)의 제1정리: 0/0 형태 239
    4.2.2 로피탈의 제2정리: ∞/∞ 형태 242
    4.2.3 그 외의 부정 형태의 극한 245
    4.3 최댓값과 최솟값 그리고 극값 249
    4.3.1 최댓값과 최솟값의 정리 249
    4.3.2 극값의 정의 252
    4.3.3 극값과 임계점 254
    4.4 1계 도함수가 알려주는 것: 단조성과 극값 260
    4.4.1 함수의 단조성: 증가와 감소 260
    4.4.2 1계 도함수의 극값 판정 263
    4.5 2계 도함수가 알려주는 것: 오목성과 변곡점, 극점 270
    4.5.1 오목성과 2계 도함수 270
    4.5.2 변곡점 273
    4.5.3 극값과 2계 도함수 판정법 275
    4.6 함수의 그래프 278
    4.6.1 미분은 무엇을 알려주는가? 278
    4.6.2 함수의 점근선 구하기 280
    4.6.3 그래프 그리기 282

    Chapter 5 적분: 정적분과 부정적분
    5.1 평면도형의 넓이 294
    5.1.1 평면도형의 넓이 294
    5.1.2 경계가 곡선인 일반 평면도형의 넓이 296
    5.2 정적분 298
    5.2.1 리만합 298
    5.2.2 정적분 정의 301
    5.2.3 정적분의 성질과 넓이 303
    5.3 미적분학의 기본정리와 부정적분 315
    5.3.1 역도함수와 부정적분 315
    5.3.2 미적분학의 기본정리 318
    5.3.3 기본함수의 부정적분과 정적분 322
    5.3.4 부정적분의 성질 327
    5.3.5 우함수와 기함수의 정적분 330
    5.4 치환적분 335
    5.4.1 치환적분에 의한 부정적분 335
    5.4.2 치환적분에 의한 정적분 341
    5.5 부분적분 345
    5.5.1 부분적분의 정의 345
    5.5.2 다양한 함수의 부분적분 350
    5.6 유리함수의 적분 354
    5.6.1 유리함수의 부분분수분해 354
    5.6.2 분모가 1차식 또는 2차식인 유리함수의 적분 358
    5.7 삼각함수의 적분 365
    5.7.1 ∫sinⁿχdχ 그리고 ∫cosⁿχdχ(n은 자연수) 365
    5.7.2 ∫sin ͫ χcosⁿχdχ(m과 n이 자연수) 369
    5.7.3 ∫sinmχcosnχdχ, ∫sinmχsinnχdχ,∫cosmχcosnχdχ 371
    5.7.4 ∫secⁿχdχ, ∫cscⁿχdχ(n은 자연수) 372
    5.7.5 ∫tanⁿχdχ, ∫cotⁿχdχ(n은 자연수) 374
    5.7.6 ∫tan ͫ χsecⁿχdχ(m, n은 자연수) 376
    5.8 삼각치환 381
    5.8.1 √a²-χ²을 포함한 식의 적분 382
    5.8.2 √a²+χ²을 포함한 식의 적분 384
    5.8.3 √χ²-a²을 포함한 식의 적분 386
    5.9 이상적분 391
    5.9.1 무한 구간에서의 이상적분 391
    5.9.2 유계가 아닌 함수의 이상적분 395

    Chapter 6 적분의 응용
    6.1 넓이: 두 곡선으로 둘러싸인 영역 400
    6.1.1 χ축 분할에 의한 두 곡선 사이에 놓인 영역의 넓이 400
    6.1.2 y축 분할에 의한 두 곡선 사이에 놓인 영역의 넓이 402
    6.2 회전체의 부피Ⅰ: 수직단면에 의한 방법 407
    6.2.1 수직단면 방법에 의한 입체의 부피 407
    6.2.2 회전체의 부피 구하기: 원판법(disc method) 410
    6.2.3 회전체의 부피 구하기: 고리법 414
    6.3 회전체의 부피Ⅱ: 쉘에 의한 방법 420
    6.4 평면곡선의 길이: 실함수의 그래프인 곡선의 길이 428

    Chapter 7 수열과 급수
    7.1 수열 436
    7.1.1 수열의 정의 436
    7.1.2 수열의 수렴성과 성질 438
    7.1.3 증가수열과 감소수열의 수렴성 444
    7.2 급수 451
    7.2.1 급수의 수렴성 451
    7.2.2 기하급수 453
    7.2.3 급수의 주요 정리 456
    7.3 양항급수의 수렴판정법 460
    7.3.1 양항급수: 적분판정법 460
    7.3.2 양항급수: 비교판정법 465
    7.3.3 양항급수: 비율판정법과 거듭제곱근판정법 469
    7.4 교대급수, 절대수렴과 조건부수렴 476
    7.4.1 교대급수 476
    7.4.2 절대수렴과 조건부수렴 479
    7.5 멱급수 485
    7.5.1 멱급수의 정의 485
    7.5.2 멱급수의 수렴반경과 수렴구간 486
    7.5.3 함수의 멱급수 표현 493
    7.6 테일러 급수와 맥클로린 급수 500
    7.6.1 테일러 급수와 맥클로린 급수의 정의 500
    7.6.2 테일러 급수 표현과 맥클로린 급수 표현 502

    Chapter 8 극좌표와 극방정식, 원뿔곡선
    8.1 평면의 극좌표계 514
    8.1.1 평면좌표계: 직교좌표계 514
    8.1.2 극좌표계 515
    8.1.3 직교좌표와 극좌표 사이의 변환 518
    8.2 극방정식과 그래프 524
    8.2.1 기본적인 극방정식의 그래프 524
    8.2.2 r=𝑓(θ) 형식의 극방정식의 그래프 527
    8.3 극좌표에서의 넓이와 길이 533
    8.3.1 극좌표 위의 기본 도형 533
    8.3.2 극방정식 r=𝑓(θ)으로 둘러싸인 영역의 넓이 534
    8.3.3 두 개의 극방정식으로 둘러싸인 영역의 넓이 537
    8.4 원뿔곡선 541
    8.4.1 원뿔곡선의 개념: 이차곡선 541
    8.4.2 포물선(parabola) 543
    8.4.3 타원(Ellipse) 545
    8.4.4 쌍곡선(Hyperbola) 547
    8.4.5 원뿔곡선의 일반적 이차곡선 표현 551

    Chapter 9 벡터 그리고 공간 위의 직선, 평면, 이차곡면
    9.1 공간좌표계: 직교좌표계 560
    9.1.1 직교좌표계의 정의 560
    9.1.2 공간에서의 거리 562
    9.1.3 구와 구의 방정식 563
    9.2 벡터 566
    9.2.1 물리적 의미의 벡터 566
    9.2.2 벡터의 수학적 정의: 평면벡터와 공간벡터 569
    9.3 벡터의 내적 581
    9.3.1 벡터의 내적의 정의 581
    9.3.2 두 벡터의 사잇각 583
    9.3.3 정사영과 벡터의 분해 584
    9.4 벡터의 외적 589
    9.4.1 벡터의 외적의 정의 589
    9.4.2 외적의 성질 592
    9.4.3 삼중적 595
    9.5 공간 위의 직선과 평면 599
    9.5.1 공간 위의 직선 599
    9.5.2 공간 위의 평면 605
    9.6 공간 위의 곡면: 기둥면과 이차곡면 613
    9.6.1 공간 위의 기둥면 614
    9.6.2 공간 위의 이차곡면 615

    Chapter 10 벡터함수와 매개곡선
    10.1 벡터함수의 정의와 극한 624
    10.1.1 벡터함수의 정의 624
    10.1.2 벡터함수의 극한 626
    10.1.3 벡터함수의 연속 628
    10.2 평면곡선과 공간곡선 632
    10.2.1 곡선의 정의 632
    10.2.2 평면곡선 635
    10.2.3 공간곡선 645
    10.3 벡터함수의 미분과 적분 650
    10.3.1 벡터함수의 미분 650
    10.3.2 벡터함수의 적분 654
    10.4 곡선의 길이와 곡률 659
    10.4.1 곡선의 길이 659
    10.4.2 극방정식에 의한 곡선의 길이 663
    10.4.3 곡선의 곡률 666

    Chapter 11 다변수함수
    11.1 다변수함수: 그래프, 등고선과 등위면 678
    11.1.1 다변수함수의 정의 678
    11.1.2 이변수함수의 그래프 680
    11.1.3 이변수함수의 레벨집합: 등고선 683
    11.1.4 삼변수함수의 그래프와 레벨집합(등위면) 687
    11.2 다변수함수의 극한과 연속 690
    11.2.1 다변수함수의 극한의 정의 690
    11.2.2 다변수함수의 극한의 존재여부를 보이는 방법 693
    11.2.3 다변수함수의 극한의 성질 695
    11.2.4 다변수함수의 연속 698
    11.3 편도함수와 미분가능성 705
    11.3.1 이변수함수의 편도함수 705
    11.3.2 삼변수함수의 편도함수 711
    11.3.3 고계 편도함수 713
    11.3.4 다변수함수의 미분가능성 716
    11.4 연쇄법칙 722
    11.4.1 합성함수가 실함수인 경우의 연쇄법칙 722
    11.4.2 합성함수가 다변수함수인 경우의 연쇄법칙 727
    11.4.3 음함수 정리 730
    11.5 방향도함수와 그래디언트 735
    11.5.1 다변수함수의 방향도함수 735
    11.5.2 그래디언트 741
    11.5.3 그래디언트의 성질 1 744
    11.5.4 그래디언트의 성질 2: 등고선과 등위면의 수직벡터 746
    11.6 이변수함수의 극값 752
    11.6.1 이변수함수의 최댓값과 최솟값 그리고 극값 752
    11.6.2 이변수함수의 극값의 후보: 정점과 특이점 754
    11.6.3 극값에 대한 2계 편도함수 판정법 759
    11.6.4 유계이고 닫힌 영역에서의 최댓값과 최솟값 763
    11.7 라그랑주 승수법 769

    Chapter 12 다중적분
    12.1 직사각형 위의 이중적분 784
    12.2 일반영역 위의 이중적분 791
    12.3 반복적분 795
    12.3.1 직사각형 위의 이중적분의 반복적분 표현 795
    12.3.2 일반영역 위의 이중적분의 반복적분 표현 801
    12.3.3 입체의 부피를 이중적분으로 구하기 811
    12.3.4 영역을 분할하여 반복적분 표현 813
    12.4 극좌표에서의 이중적분 819
    12.4.1 극좌표형 직사각형 위의 이중적분 819
    12.4.2 극좌표형 일반영역 위의 극좌표형 반복적분 824
    12.4.3 입체의 부피를 극좌표형 이중적분으로 구하기 829
    12.5 곡면의 표면적 835
    12.6 삼중적분 841
    12.6.1 직육면체 위의 삼중적분과 반복적분 841
    12.6.2 일반영역 위의 삼중적분과 반복적분 843
    12.7 원기둥좌표에서의 삼중적분 855
    12.7.1 원기둥좌표계 855
    12.7.2 원기둥좌표에서의 삼중적분과 원기둥형 반복적분 859
    12.7.3 직교좌표형 반복적분을 원기둥형 반복적분으로 변환 865
    12.8 구면좌표에서의 삼중적분 870
    12.8.1 구면좌표계 870
    12.8.2 구면좌표에서의 삼중적분 875
    12.9 중적분의 변수변환 885
    12.9.1 실함수의 변수변환에 의한 적분 885
    12.9.2 이중적분의 변수변환 886

    ◐ 연습문제 정답 897
    ◐ 찾아보기 976